Lohnfortzahlung/Krankengeld

[Ratsuchende]

Hallo,
vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen. Ich wollte am 1. Mai eine neue Stelle antreten, bin dann aber krank geworden und bis es immer noch. Jetzt wurde ich um 15. Juni gekündigt.
Für die ersten 4 Wochen der Beschäftigung bekomme ich vom Arbeitgeber ja laut Gesetz keine Lohnfortzahlung. Diese sind ja nun am 29. Mai rum. Also müsste mir mein Arbeitgeber doch vom 30.05 - 15.06. Lohnfortzahlung leisten oder liege ich da falsch?
Und noch was: Die Krankenkasse zahlt für die 4 Wochen kein Krankengeld, weil sie sagt, es sei keine Berechnungsgrundlage vorhanden, weil ich dort keinen Tag gearbeitet habe. Stimmt das so?
Viele Grüße und danke im Voraus für die Antworten!