Jobbezeichnung im Arbeitsvertrag

[verrubret]

Hallo, ich hab einen Arbeitsvetrag und wurde eingestellt mit der Jobbezeichnung "A" (steht so im Arbeitsvertrag).

Nun, nach 3 Jahren, habe ich nach einer "richtigen" Gehaltserhöhung gefragt. Es wurde erstmal abgelehnt bzw. zugesichert verschoben ins nächste Jahr. Zudem sollte der Arbeitsvertrag geändert werden mit Jobbezeichnung "B". D.h. dann sei ich "B" statt "A" und könnte ein höheres Gehalt bekommen.
Begründung: Mit "A" könnte ich kein Gehaltssprung machen. Es geht nur wenn ich "B" bin. "B" ist also höherwertiger!

So nun habe ich festgestellt, dass mein Kollege, der haargenau die gleiche Arbeit mach wie ich, schon von Anfang an als "B" eingestellt wurde und so auch jährlich eine höhere Gehaltssteigerung erzielen konnte.
Als wir machen die gleiche Arbeit. Er ist "B". Ich bin "A". Wir machen beide aber "B"-wertige Arbeit.
Hab ich ein Recht, dass meine Vertrag sofort auf "B" geändert wird, um somit auch den Weg frei für eine sofortige Gehaltserhöhung zu machen?

Vielen Dank!