Abmahnung wg. angeblichem Verstoss gegen das Betriebsgeheimnis

[dm4n]

Hallo!
Ich hoffe hier kann mir jemand bei meinem Problem helfen.
Ich arbeite in einem Gastronomiebetrieb. Vor einiger Zeit hat der Chef von jedem Mitarbeiter eine Erweiterung zum bestehenden Arbeitsvertrag unterschreiben lassen, die besagt, das kein Mitarbeiter mehr irgendwas (egal was) über den Betrieb nach außen veraten darf. (Betriebsgeheimnis)
Wohl aus Angst vor rechtlichen Konsequenzen.
Hintergrund ist, das in dem Betrieb Billig-Getränke als Markengetränke [LIDL-"Topstar"-Cola als Sinalco, Billig-TetraPack-Wein als teurer Markenwein vom örtlichen Winzer] sowie Billig-Tiefkühl-Produkte als hochwertige Produkte auf der Speisekarte angepriesen werden.
Jedenfalls ist das Verhältnis zwischen mir und dem Arbeitgeber zurzeit sehr gespannt und er versucht ständig was zu finden um mir eins reinzuwürgen.
Heute erhielt ich per Einschreiben eine Abmahnung die sich darauf bezieht, das ich Betriebsgeheimnisse verraten hätte. Als Grund wird ein Gästebucheintrag in einem Social Network bei einem befreundeten Kollegen genannt. In diesem besagten Gästebucheintrag steht folgendes (Zitat):
"morgen,
samstag ist der chef da, ich komm erst abends
um 21 Uhr. Da hast du ja schon feierabend...
und sonntag komm ich erst um 15 Uhr..

Wünsche noch einen schönen Tag :-)
Bis Samstag"

Ich denke eigentlich das es sich hierbei um eine rein private Information handelt, da es ja um die Eckdaten geht wann ich frei habe!

Lange Rede, kurzer Sinn: Ist diese Abmahnung gerechtfertigt?
Und ist diese überhaupt gültig, da ich sie weder unterschrieben habe, noch ein Unterschriftenfeld dafür auf dem Schreiben vorgesehen ist?

Vielen Dank für eure Antworten!